LEONHARD EULER
Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza, y murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia. Cuando cumplió un año, la familia Euler se mudó a Riehen, en donde Leonhard creció. De su padre, que sabía algo de matemáticas, adquirió sus primeros conocimientos en esta ciencia y otros temas.
Fue a la escuela en Basilea, en donde vivía al lado de su abuela materna. Ya su interés por las matemáticas había despertado gracias a su padre y ya prácticamente no aprendió las matemáticas escolares, pues prefería leer textos por su cuenta y tomaba clases particulares. Su padre, que era ministro protestante, quería que Leonhard se preparara también para el ministerio y lo envió a la Universidad de Basilea, donde ingresó en 1720, a los 13 años. Fue Johan Bernoulli quien descubrió el gran talento matemático de Euler. En sus notas autobiográficas[7] escribió Euler:
... pronto tuve la ocasión de conocer al famoso profesor Johan Bernoulli. ... Realmente estaba muy ocupado y rechazó darme lecciones privadas. Pero me dio valiosos consejos para comenzar a leer por mi cuenta libros de matemáticas más difíciles y estudiarlos tan diligentemente como me fuera posible. Al toparme con dificultades me permitía visitarlo los domingos por la tarde y amablemente me explicaba cualquier cosa que no hubiese yo entendido ...
En 1723 Euler obtuvo su maestría en filosofía haciendo una comparación de las ideas filosóficas de Descartes y Newton. Según los deseos de su padre comenzó a estudiar teología en el otoño de 1723. A pesar de ser un cristiano devoto durante toda su vida, no tuvo interés en esos estudios y su padre le autorizó cambiarse a estudiar matemáticas. Fue gracias al apoyo de Johan Bernoulli, quien había tenido amistad con el padre de Euler durante sus años en la universidad, que éste aceptó el cambio. Euler terminó sus estudios en la Universidad de Basilea en 1726. Ese mismo año Euler ya tenía un artículo en prensa, que trataba sobre curvas isócronas en un medio resistente. En 1727 publicó otro artículo sobre trayectorias recíprocas y sometió un trabajo para el Grand Prix de 1727 de la Academia de París sobre la mejor distribución de mástiles en un barco, por el que obtuvo el segundo lugar.
Euler obtuvo una posición académica en San Petersburgo al morir Nicolas Bernoulli en julio de 1726, quien dejó libre una cátedra que lo involucró en la enseñanza de las aplicaciones de las matemáticas y la mecánica a la fisiología. Su puesto entró en vigor en noviembre de 1726, pero esperó hasta la siguiente primavera para viajar a Rusia, pues, por un lado, deseaba estudiar los temas de su cátedra y, por el otro, deseaba ver sus posibilidades en Basilea, pues el profesor de física de la universidad había muerto. Para defender su solicitud de la cátedra, Euler escribió un artículo sobre acústica que se convirtió en un clásico, pero no la obtuvo. Su juventud no lo ayudaba –tenía 19 años–. Sin embargo, Calinger reflexiona:
Esta decisión resultó, a fin de cuentas, benéfica para Euler, pues lo obligó a mudarse de una pequeña república a un ambiente más adecuado para su brillante investigación y trabajo tecnológico.
Su viaje, en barco por el Rin, en diligencia por el norte de Alemania y por barco desde Lübeck hasta San Petersburgo, donde llegó el 17 de mayo de 1727, duró 42 días. A los dos años de estar en Rusia fue elegido miembro de la Academia de Ciencias de San Petersburgo, fundada por Catalina I, esposa del Zar Pedro el Grande. A solicitud de Daniel Bernoulli y de Jakob Hermann, Euler fue asignado a la división de físico-matemáticas de la academia, en vez del puesto de fisiología que había tenido al principio.
Euler sirvió a la marina rusa como teniente médico entre 1727 y 1730. En San Petersburgo vivía con Daniel Bernoulli. Euler se hizo profesor de física de la academia y gracias a ello pudo dejar su cargo en la marina rusa.
Al abandonar San Petersburgo Daniel Bernoulli en 1733, Euler se quedó con este puesto de profesor titular. Su mejora económica le permitió casarse el 7 de enero de 1734 con Katharina Gsell, quien, al igual que Euler, era de familia suiza. Tuvieron 13 hijos, pero sólo cinco sobrevivieron su infancia. Euler decía que hizo varios de sus más grandes descubrimientos matemáticos con un bebé en sus brazos y otros niños jugando alrededor de sus pies.
La publicación de muchos artículos y de su libro Mechanica (1736-37), que presentaba ampliamente la mecánica newtoniana por primera vez en términos de análisis matemático, puso a Euler en la vía de una importante obra.
En 1735 comenzó Euler con sus padecimientos físicos y una fiebre lo puso al borde de la tumba. En sus escritos autobiográficos afirma que sus problemas de visión empezaron en 1738 debidos a su trabajo cartográfico en 1740, en el que forzaba mucho la vista; él mismo escribió que
... perdí un ojo y [el otro] seguramente corre el mismo riesgo.
Hacia 1740 la reputación de Euler creció después de haber finalmente obtenido el Grand Prix de la Academia de París en 1738 y en 1740. Eso le valió un llamado a Berlín, que al principió rechazó y prefirió permanecer en San Petersburgo. Sin embargo, las revueltas políticas en Rusia dificultaron su estancia y cambió de opinión. Por invitación de Federico el Grande se fue a Berlín, donde a partir de la antigua Sociedad de Ciencias se estaba fundando la Academia de Ciencias. Llegó a Berlín el 25 de julio. Le escribió a un amigo:
Puedo hacer lo que quiero [en mi investigación] ... El rey me llama su profesor y creo que soy el hombre más feliz del mundo.
Bajo la presidencia de Maupertius se fundó la Academia de Berlín y se designó a Euler director de matemáticas.
Durante su estancia de veinticinco años en Berlín, Euler escribió alrededor de 380 artículos, libros sobre cálculo de variaciones, sobre órbitas planetarias, sobre artillería y balística, sobre análisis, sobre las artes de la construcción de barcos y navegación, sobre el movimiento de la luna, sobre cálculo diferencial, así como un texto de divulgación intitulado Cartas a una Princesa de Alemania (3 Vols., 1768-72).
A la muerte de Maupertius en 1759 Euler asumió el liderazgo de la Academia de Berlín, aunque no el título de presidente, pues su relación con Federico ya no se encontraba en buenos términos. Después de algunas diferencias en cuestiones académicas con d’Alembert se sintió molesto de que Federico le hubiese ofrecido a éste la presidencia de la Academia en 1763. Sin embargo d’Alembert no aceptó irse a Berlín, pero Federico siguió interfiriendo en el manejo de la Academia he hizo que Euler decidiera que ya era tiempo de abandonar Berlín.
En 1766 Euler retornó a San Petersburgo y Federico se disgustó muchísimo por su partida. Al poco de regresar a Rusia la ceguera de Euler fue prácticamente total. En 1771 su casa se incendió y apenas se salvó el y sus manuscritos matemáticos. Una operación de cataratas poco después del incendio, en 1771, le devolvió la vista por unos días pero no tuvo los cuidados necesarios y al poco tiempo sufrió de ceguera total. Gracias a su extraordinaria memoria pudo continuar con su trabajo en óptica, álgebra y movimiento lunar. Asombrosamente a su regreso a San Petersburgo (a los 59 años de edad) produjo casi la mitad de toda su obra a pesar de su ceguera.
Por supuesto, Euler no alcanzó este notable nivel de conocimientos sin ayuda. Tuvo el apoyo de sus hijos, Johann Albrecht Euler, quien fue elegido para la cátedra de física de la Academia en San Petersburgo en 1766 (de la cual fue su secretario en 1769) y de Christoph Euler, quien hizo una carrera militar. Euler también recibió la ayuda de otros dos miembros de la Academia, W. L. Krafft y A. J. Lexell, y del joven matemático N. Fuss, quien fue invitado a la Academia desde Suiza en 1772. Fuss, quien era nieto político de Euler, se convirtió en su asistente en 1776. Yushkevich escribe:
...los científicos que apoyaron a Euler no eran meros secretarios; él discutía el esquema general de sus trabajos con ellos y ellos desarrollaban sus ideas, calculando tablas y algunas veces compilando ejemplos.
Por ejemplo, Euler da crédito a Albrecht, Krafft y Lexell por su ayuda con su obra de 775 páginas sobre el movimiento de la luna, publicada en 1772. Fuss ayudó a Euler a preparar más de 250 artículos para publicación durante un período de unos siete años en los cuales fungió como asistente de Euler; éstos incluían un importante trabajo sobre seguros, que fue publicado en 1776.
Yushkevich describe el día del fallecimiento de Euler:
El 18 de septiembre de 1783 Euler pasó la mitad del día como era su costumbre. Dio una lección de matemáticas a uno de sus nietos, hizo algunos cálculos con gis en dos pizarras acerca del movimiento de los globos, después discutió con Lexell y Fuss y acerca del recientemente descubierto planeta Urano. Cerca de las cinco de la tarde sufrió una hemorragia cerebral y apenas alcanzó a pronunciar “me estoy muriendo” antes de perder la conciencia. Murió como a las once de la noche.
Después de su muerte en 1783 la Academia de San Petersburgo continuó publicando la obra inédita de Euler por alrededor de 50 años más.
La obra matemática de Euler es tan vasta que en una nota como ésta no se puede dar más que una vaga idea de ella. Euler fue el escritor de matemáticas más prolífico de todos los tiempos. Sus contribuciones dentro de estudio de la geometría analítica y la trigonometría modernas son enormes. Él fue el primero en considerar las funciones trigonométricas seno, coseno, etcétera, más como funciones que meramente como cuerdas, como lo hiciera Ptolomeo.
Hizo decisivas y formativas contribuciones a la geometría, el cálculo y la teoría de los números. Integró el cálculo diferencial de Leibniz y el método de las fluxiones de Newton al análisis matemático. Introdujo las funciones beta y gama para las ecuaciones diferenciales. Estudió la mecánica del continuo, la teoría lunar con Clairaut, el problema de tres cuerpos, elasticidad, acústica, la teoría ondulatoria de la luz, hidráulica y música. Sentó las bases de la mecánica analítica, especialmente en su Teoría de los Movimientos de los Cuerpos Rígidos (1765).
Debemos a Euler la notación f(x) para una función (1734), e para la base de los logaritmos naturales (1727), i para la raíz cuadrada de –1 (1777), π para el número pi, Σ para la sumatoria (1755), la notación para las diferencias finitas Δy and Δ2y y muchas más.
Entre los resultados de Euler sobre teoría de números está su demostración del Último Teorema de Fermat para el caso n = 3. Quizás más significativo que el mero resultado fue el hecho de haber presentado una prueba que involucraba números de la forma para enteros a y b. Aunque había problemas con su enfoque, éste condujo a la larga al fundamental trabajo de Kummer sobre el Último Teorema de Fermat y a la introducción del concepto algebraico de anillo.
Puede afirmarse que el análisis matemático tuvo su inicio con Euler. En 1748 en Introductio en analysin infinitorum Euler precisó ideas de Johann Bernoulli para definir una función, y afirmó que el análisis matemático era el estudio de las funciones. Este trabajo basa el cálculo en la teoría de funciones elementales, más que en curvas geométricas, como había sido enfocado previamente. También dio Euler en este trabajo la fórmula
eix = cos x + i sin x.
En Introductio en analysin infinitorum Euler trató con logaritmos de una variable positiva, aunque ya antes había descubierto la fórmula
ln(–1) = πi en 1727. Publicó su teoría completa de los logaritmos de los números complejos en 1751. Descubrió las ecuaciones de Cauchy-Riemann en 1777, aunque d'Alembert ya las había descubierto en 1752 mientras investigaba sobre hidrodinámica.
En 1755 Euler publicó Institutiones calculi differentialis que comienza con un estudio del cálculo de diferencias finitas. La obra hace una investigación detallada de cómo se comporta la diferenciación con respecto a substituciones.
El cálculo de variaciones es otra área en la cual hizo Euler descubrimientos fundamentales. Su obra Methodus inveniendi lineas curvas ... publicado en 1740 inició propiamente el estudio del cálculo de variaciones. Carathéodory consideró esto como:
... una de las más hermosas obras matemáticas jamás escritas.
Euler también hizo contribuciones sustanciales a la geometría diferencial, donde investiga la teoría de superficies y su curvatura. Muchos resultados no publicados de Euler en esta área fueron redescubiertos por Gauss. Otras investigaciones geométricas lo condujeron a ideas fundamentales en topología, tales como la característica de Euler de un poliedro.
En 1736 publicó Euler Mechanica que proporcionó un avance sustancial en mecánica. Como afirma Yushkevich:
Lo que distingue a las investigaciones de Euler en mecánica de las de sus predecesores es la aplicación sistemática y exitosa del análisis. Previamente, los métodos de la mecánica habían sido en su mayor parte sintéticos y geométricos; exigían un enfoque demasiado individual para separar problemas. Euler fue el primero en apreciar la importancia de introducir métodos analíticos uniformes a la mecánica, haciendo que sus problemas pudieran resolverse en una forma clara y directa.
En Mechanica consideró Euler el movimiento de una masa puntual tanto en el vacío como en un medio resistente. Analizó el movimiento de una masa puntual bajo una fuerza central y también consideró el movimiento de una masa puntual en una superficie. En este último tema, tuvo que resolver varios problemas de geometría diferencial y geodésicas.
Euler también publicó sobre la teoría musical, en particular, publicó Tentamen novae theoriae musicae en 1739, en el cual trató de hacer música:
... partir de las matemáticas y deducir de una manera ordenada, a partir de principios correctos, todo aquello que puede hacer agradable el combinar y mezclar tonos.
Sin embargo, la obra era:
... demasiado avanzada en sus matemáticas para los músicos y demasiado musical para los matemáticos.
La cartografía fue otra área en la que Euler se interesó cuando fue designado director de la sección de geografía de la Academia de San Petersburgo en 1735. Tenía la tarea específica de apoyar a Delisle para preparar un mapa de todo el Imperio Ruso. El Atlas Ruso fue el resultado de esta colaboración y apareció en 1745 consistente de 20 mapas. Euler, en Berlín, señaló orgullosamente al momento de su publicación, que esta obra puso a los rusos en una posición mucho más avanzada que la de los alemanes en el arte de la cartografía.